aloud と loudly は、どちらも「大きな声で」という日本語に訳せることがあります。
通常 aloud は、しっかり他の人が聞こえるように声を出して、本を読んだり、話をしたりするような場合に使うことが多いと思います。
また、普通に声を出して言うという時にも使います。
一方 loudly は、必要以上に大きな声を出したりして、時に騒音になるような場合がよく当てはまることがあります。
言い方にもよりますが、会話などでの内容に左右するので、どちらにも言い換えることができる場合がよくあります。
◆His daughter read a letter of thanks aloud to the teacher on behalf of her junior high school.
彼の娘は中学校を代表してその先生に感謝状を読み上げた。
この例ぶんでは read があるので、aloud を使うのが普通です。
Don't worry about Takeshi. I guess he was just thinking aloud.
タケシのことは心配するな。あいつはただ独り言を言っていただけだと思うから。
think aloud は「声を出して考える」という意味ではなく、何気なく「独り言を言う」というような感じの表現になります。
Most of the staff wondered aloud about the manager's recent behavior.
スタッフの多くが支配人の最近の行動について疑問を口にした。
wonder は「疑問に思う」という意味がありますが、aloud を付けることによって、はっきりと疑問を言葉にしている様子がわかるということになります。
She always talks so loudly that it seems few people like her very much.
彼女はいつも大声で話すので、彼女を好きな人はほとんどいない。
この例文では that より後ろで否定的な言葉が使われているので、loudly を使うのが正当でしょう。
My stomach glumbled loudly when our teacher was scolding us.
僕のお腹は先生が僕たちを叱っていた時に大きく鳴ったんだよ。
この例文では、人の声ではなく、お腹の音なので loudly が適切でしょう。
Her father often laughs aloud/loudly.
彼女のお父さんはよく大きな声で笑う。
このように会話の前後関係がない場合は、どちらでも使うことができます。
例えば、お父さんの笑声が非常にうるさく感じられれば loudly を使うことになり、そうでなければ aloud になるでしょう。
out loud という言い方もあり、これは aloud に代えることができますが、インフォーマルな場面で使う方が無難なようです。