これら3つの単語は、動詞で、壊れた物を「修理する、直す」といったような意味で共通して使われます。
そして、この中で少し改まった場面で使わるのが repair です。
名詞としても「修理、修繕」など、同じ意味を持っていますが、それぞれに全く違った意味でも使われています。
動詞としては、特に機械類などを修理するということで使われることが殆どだと思います。
例えば fix には「苦しい立場、板挟み」といった意味があり、repair には「行くこと、滞在すること」など、「修理」とはかなりかけ離れた意味があります。
mend は「(服の破れや小さな穴などを)修繕する、直す」という意味の他に「(態度などを)改める」という意味でも使われます。
それぞれ名詞としての意味もあるのですが、やはり「修繕」などの意味以外で使う必要をあまり感じませんので、基本的な「修理する」といった意味で使い分けが出来るようにしておくと良いと思います。
また、これらはアメリカ英語やイギリス英語の中でも、少し使い方が違うので、それをことを覚えておくと良いでしょう。
この中で中立なのは fix で、破れている物なら、一応何でも使えます。
That garage is the best at reparing/fixing cars in this town.
「この町では、あの自動車修理工場は車の修理にかけては一番だ。」
「修繕する」というような意味で、イギリス英語では fix と mend はほぼ同じように使われますが、mend は特に、虫に食われたり、破れたりして服に穴が空いたもの、また道路や屋根などの穴を「直す」時に使われます。
Could you fix/mend the hole in these pants by the next week?
「来週までにこのズボンの穴を直して頂けますか。」
■ただ fix は口語で、日程などを「決める」とか、金額を「設定する」というような意味でもよく使われることがあります。
When are you going to fix the meeting date for the big project?
「この大きなプロジェクトの会議の日程はいつ決めるつもりなのですか。」
The price of this product is fixed, so I cannot give you any further discount.
「この製品の値段は決められているので、これ以上値引きすることは出来ません。」
■アメリカ英語では mend は、特に服や靴などの穴などを直す場合にのみ用いられているようです。
It'll cost $200 to mend these shoes at least.
「この靴の修理には少なくとも200ドルはかかりますよ。」