両方とも「外」というニュアンスを持つ単語で、日本語では同じに意味になることもありますが、その後に続く単語がかなり違います。
outside は、名詞として、物の内側に対する「外側」また「外見」や、形容詞として「屋外の、野外の」などの意味があります。
outdoor は名詞の用法では使われず、形容詞としてだけで「屋外の、野外の」などの意味があります。
◆共通に使える場合と使えない場合。
How about placing the sticker on the outside of the door?
「ドアの外側にこのステッカーを張ったらどうかな。」
※もちろんこの場合には outdoor にすることはできません。
I have a outside/outdoor dog.
「私は屋外件犬を飼っています。」
※この場合は outside dog の方がよく使われるようです。その他共通で使えるものもたくさんあります。
outside adviser 外部アドバイザー とは言いますが outdoor adviser とは言いません。
※ outdoor は、あくまでも建物の外という空間を考えれば良いでしょう。
※それぞれ何を修飾できるかは、その時々に応じて確認する必要があります。
◆ outside はそのままで副詞としても使えますが、outdoor も outdoors とすると副詞として使えます。
When he was young, he used to sleep outdoors/outside.
「彼は若い時、よく野宿をした。」