may の意味や使い方
may は、助動詞の中でも、形式的な表現の中で使われることの多い言葉です。
「～してもよい」というような意味で使われます。
May I ask you a personal question? Sure.
「立ち入ったことをお聞きしてもよろしいでしょうか。」「どうぞ。」
※この意味で使うことが最もポピュラーではないかと思います。
※ a personal question（「個人的な質問」という意味）
「～かもしれない」という意味でもよく使われます。
The famous politician may also keep a slush fund.
「その有名な政治家も裏金を持っているかもしれない。」
※ slush fund（裏金・不正資金）
may have＋過去分詞の形で、過去の推量を表すことができます。
The fire may have broken out on the third floor.
「その家事は３階で発生したのかも知れなかった。」
break out （火事などが）起こる、発生する
「～であることを祈る」といったような格式ばった言い方です。
May you make progress in your English!
「あなたの英語がうまくなりますように！」
※この英文は強調のために倒置文となっています。
※ make progress in（～が上達する）
この用法は、書き言葉なので、通常、友達など親しい間の会話で使うことは少ないと思いますが、フォーマルな言い方の一つとして覚えておきましょう。
もちろんそういった間柄でもフォーマルな言い方を、おどけるような感じで使うこともあります。
タイプミスのご指摘を頂き感謝の返信をしましたが、返信不能でしたので、ここで感謝申し上げます。